因式定理

多项式f(x)有一个因式x－b的充分必要条件是f(b)=0．(即b是多项式f(x)的根)．

此定理也是判断多项式f(x)能否被x－b整除的重要方法：若f(b)=0则f(x)能被x－b整除记作(x－b)|f(x)，否则不能整除．由此可以得出以下事实．

(1)若多项式f(x)的各项系数之和为零，则(x－1)|f(x)；

(2)若多项式f(x)的奇次项系数之和等于偶次项系数和，则(x+1)|f(x)；

(3)若多项式f(x)各项系数同号(同正或同负)，则f(x)无正根；

(4)若多项式f(x)的奇次项系数为正(或为负)，并且偶次项系数(包括常数项a0)为负(或为正)，则f(x)无负根；

(5)若n为自然数，则(x－a)|(xn－an)；

(6)若n为正偶数，则(x+a)|(xn－an)；

(7)若n为正奇数，则(x+a)|(xn+an)．

因式定理的推导过程：f(x)=(x-a)q(x)+r。因式定理是余式定理的推论之一。因式定理规定：如果多项式f(a)=0，那么多项式f(x)必定含有因式x-a。反过来，如果f(x)含有因式x-a，那么，f(a)=0。

因式定理普遍应用于找到一个多项式的因式或多项式方程的根的两类问题。从定理的推论结果，这些问题基本上是等价的。若多项式已知一个或数个零点，因式定理也可以移除多项式中已知零点的部份，变成一个阶数较低的多项式，其零点即为原多项式中剩下的零点，以简化多项式求根的过程。

1

因式定理告诉我们：分解一次因式等价于求多项式的根。下面证明：

对于多项式f(x)，做带余除法，被除式为(x-a)，则f(x)=(x-a)q(x)+r,其中r是常数，若x=a是多项式的根，即f(a)=0，则r=0，所以f(x)=(x-a)q(x)，所以x-a是该多项式的一个因式

2

将x=q/p带入得

an(q/p)n+an-1(q/p)n-1++a1(q/p)+a0=0,等式两边乘以p的n-1次方得anqn/p+整数=0,则p时an的约数，若将原式乘以q的n次方再除以p得a0pn/q+整数=0，所以q时a0的约数

3

特别地，对于an=1，如果x-q是它的因式，那么q一定是常数项的约数

这是因式分解的唯一性的证明。首先要明确：形如这样的式子是都可以进行因式分解得到形如（x-a）（x-b）（x-c）的式子。

充分性证明如下（反证法）：假设（x-b）不是f（x）的一个因式，那么设f（x）=∏(x-b[i])(i=1,2,3,4,5n){因为f(x)是n次的}，由假设得b[i]≠b,则x-b[i]≠x-b,即x-b[i]≠0，所以f（x）≠0，与原命题中x=b为f（x）=0的根矛盾。

必要性：∵（x-b）是f（x）的一个因式，∴x=b时f（x）=0，从而x=b是f（x）=0的一个根。

如果（2a+b)^n-a^n有因式a+b

那么a+b=0→(2a+b)^n-b^n=0。

因式定理是上述命题的逆命题。即，如果a+b=0→(2a+b)^n-b^n=0，说明（2a+b)^n-a^n有因式a+b

条件可以直接将b=-a代入验证：（2a+b)^n-a^n=（2a-a)^n-a^n=0成立，所以…有因式a+b

以上就是关于因式定理全部的内容，包括:因式定理、因式定理的推导过程、因式分解定理等相关内容解答，如果想了解更多相关内容，可以关注我们，你们的支持是我们更新的动力！