极坐标下的拉普拉斯方程是

f是函数，ə是求偏导符号

直角坐标下的拉普拉斯方程为：(ə²/əx²)+(ə²/əy²)f=0

极坐标下的拉普拉斯方程：(ə²/ər²)+(1/r)(ə/ər)+(1/r²)(ə²/ə²θ)f=0

由于电势的拉普拉斯正比于电荷密度。

所以，场点所在的空间中如果没有电荷，则在该空间中的电势的拉普拉斯等于零，即满足拉普拉斯方程。

若在场点处有电荷，则电势的拉普拉斯不等于零，这个方程就是泊松方程。

比如 (偏方u/偏x方) 应该等于：

(偏/偏x)方 作用于u（1）

(偏/偏x)=(偏r/偏x×偏/偏r + 偏θ/偏x×偏/偏θ + 偏φ/偏x×偏/偏φ)（2）

偏r/偏x、偏θ/偏x、偏φ/偏x 可由变换公式求得

把求得的（2）式代入（1）中

再求出关于y、z的

一起代入拉普拉斯方程中,应该就行了吧

具体的我也没算,你试试吧

（“偏”代表偏导数符号）

泊松方程或拉普拉斯方程一般是三维的偏微分方程，只有带电体的场呈“球、柱”形对称时，三维方程才退化为低维的微分方程。通过分离变量法可以得到方程的级数解。

拉普拉斯方程的基本解满足

其中的三维δ函数代表位于的一个点源。 由基本解的定义，若对u作用拉普拉斯算子，再把结果在包含点源的任意体积内积分，那么

由于坐标轴旋转不改变拉普拉斯方程的形式，所以基本解必然包含在那些仅与到点源距离r相关的解中。如果我们选取包含点源、半径为a的球形域作为积分域，那么根据高斯散度定理

求得在以点源为中心，半径为r的球面上有

所以

经过类似的推导同样可求得二维形式的解 格林函数是一种不但满足前述基本解的定义，而且在体积域V的边界S上还满足一定的边界条件的基本解。譬如，可以满足

现设u为在V内满足泊松方程的任意解:

且u在边界S上取值为g，那么我们可以应用格林公式（是高斯散度定理的一个推论），得到

un和Gn分别代表两个函数在边界S上的法向导数。考虑到u和G满足的条件，可将上式化简为

所以格林函数描述了量f和g对(x',y',z')点函数值的影响。格林函数在半径为a的球面内的点上得值可以通过镜像法求得（Sommerfeld, 1949）：距球心ρ的源点P的通过球面的“反射镜像”P'距球心

需要注意的是，如果P在球内，那么P'将在球外。于是可得格林函数为

式中R表示距源点P的距离，R'表示距镜像点P'的距离。从格林函数上面的表示式可以推出泊松积分公式。设ρ、θ和φ为源点P的三个球坐标分量。此处θ按照物理学界的通用标准定义为坐标矢径与竖直轴（z轴）的夹角（与欧洲习惯相同，与美国习惯不同）。于是球面内拉普拉斯方程的解为： 这个公式的一个显见的结论是：若u是调和函数，那么u在球心处的取值为其在球面上取值的平均。于是我们可以立即得出以下结论：任意一个调和函数（只要不是常函数）的最大值必然不会在其定义域的内部点取得。

拉普拉斯方程是数学上的一个方程，是一个关于行列式的展开式。将一个n×n矩阵B的行列式进行拉普拉斯展开，即是将其表示成关于矩阵B的某一行（或某一列）的 n 个元素的(n-1) × (n-1)余子式的和。行列式的拉普拉斯展开一般被简称为行列式按某一行（或按某一列）的展开。由于矩阵B有 n 行 n 列，它的拉普拉斯展开一共有 2n 种。拉普拉斯展开的推广称为拉普拉斯定理，是将一行的元素推广为关于k行的一切子式。它们的每一项和对应的代数余子式的乘积之和仍然是B的行列式。

杨-拉普拉斯公式是指物理中的附加压力与曲率半径之间的关系式：

一般式: Ps=r(1/R1+1/R2)

特殊式:Ps=2y/R

根据数学上规定，凸面的曲率半径取正值，凹面的曲率半径取负值。所以，凸面的附加压力指向液体，凹面的附加压力指向气体，即附加压力总是指向球面的球心。

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