中点弦公式是什么

中点弦公式：py-αx=pβ-α^2。假设对于给定点P和给定的圆锥曲线C，若C上的某条弦AB过P点且被P点平分，则称该弦AB为圆锥曲线C上过P点的中点弦。其中圆锥曲线弦为连接圆锥曲线C上不同两点A、B的线段AB称为圆锥曲线C的弦。

圆锥是一种几何图形，有两种定义。解析几何定义：圆锥面和一个截它的平面（满足交线为圆）组成的空间几何图形叫圆锥。

立体几何定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。旋转轴叫做圆锥的轴。 垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面。不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线。

椭圆中点弦公式：

椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：

αx/a^2+βy/b^2=α^2/a^2+β^2/b^2。

中点弦存在的条件：α^2/a^2+β^2/b^2<1（点P在椭圆内）。

双曲线中点弦公式：

双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：

αx/a^2-βy/b^2=α^2/a^2-β^2/b^2。

中点弦存在的条件：(α^2/a^2-β^2/b^2)(α^2/a^2-β^2/b^2-1)>0（点P不在双曲线、渐近线上以及它们所围成的区域内）。

证明：不妨设椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(此时易得右焦点f(c,0)),设直线经过椭圆的右焦点f，则此直线的方程可设为x=my+c(此直线不能表示为x轴，而为x轴时三点共线不合题意)

设a(x1,y1),b(x2,y2)(并且假设y2>y1即b在a上方)

联立直线x=my+c与椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1得到

(my+c)^2/a^2+y^2/b^2=1

整理得到b^2(my+c)^2+a^2y^2=a^2b^2

亦即(a^2+b^2m^2)y^2+2b^2cmy+b^2(c^2-a^2)=0[注意到c^2-a^2=-b^2,椭圆的性质]

即上式简化为(a^2+b^2m^2)y^2+2b^2cmy-b^4=0

我们知道a,b就是直线与椭圆的交点，于是易得y1,y2是上式的两个根(这点你应该也知道)

韦达定理有y1+y2=-2b^2c/(a^2+b^2m^2)……………………(1)[令t=a^2+b^2m^2]

y1y2=-b^4/(a^2+b^2m^2)………………………………(2)

下面来表示∠aob(我们选择倒角公式，这个不知道可去看书本)

kob=y2/x2,koa=y1/x1

tan∠aob=(kob-koa)/1+koakob=(y2/x2-y1/x1)/1+y2y1/x1x2

整理得到tan∠aob=(x1y2-x2y1)/(x1x2+y1y2)

下面便是考验你的计算能力的时候到了。

x1y2-x2y1=(my1+c)y2-(my2+c)y1=c(y2-y1)

x1x2+y1y2=(my1+c)(my2+c)+y1y2=m^2y1y2+cm(y1+y2)+c^2+y1y2

=(m^2+1)y1y2+cm(y1+y2)

=(m^2+1)[-b^4/(a^2+b^2m^2)]+cm[-2b^2c/(a^2+b^2m^2)]

=1/t[-m^2b^4-b^4-2b^2c^2m]

而(y2-y1)^2=(y2+y1)^2-4y1y2

=(-2b^2c/t)^2-4(-b^4/t)

=4b^4c^2/t^2+4b^4/t

于是tan∠aob=√

4b^4c^2/t^2+4b^4/t/[1/t[-m^2b^4-b^4-2b^2c^2m]][注意这里要看清楚]

即(tan∠aob)^2=(y2-y1)^2/[(m^2+1)y1y2+cm(y1+y2)]^2

=

(下面的自己接下去按着思路做，把它化为函数，再求最值，容易求出是当oa=ob时取得)

椭圆中点弦公式

椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：

αx/a^2+βy/b^2=α^2/a^2+β^2/b^2。

中点弦存在的条件：α^2/a^2+β^2/b^2<1（点P在椭圆内）。

扩展资料：

蝴蝶定理是二次曲线一个著名定理，它充分体现了蝴蝶生态美与“数学美”的一致性．不少中数专著或杂志至今还频繁讨论．本文揭示了它与中点弦性质的紧密联系，并给出统一而简明的证明，指出了一种有用的特殊情形和一种推广形式．

引理：设两条不同的二次曲线

S：F(x，y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0

有A、B、C、D四个公共点，其中无三点共线，则过A、B、C、D四点的任意一条二次曲线S2必可唯一地表示成：

(证明略)

定理1 设三条不同的二次曲线(S、S1、S2)有A、B、C、D四个公共点，其中无三点共线；又直线L0被S、S1、S2各截得一弦．若其中两弦中点重合，则第三弦中点亦重合．

证 设S、S1的方程为(1)、(2)，则S2方程可表为(3)．因直线L0(设斜率为k)关于二次曲线S、S1、S2的共轭直径分别为：

L：(a11x+a12y+a13)+k(a12x+a22y+a23)=f(x，y)=0

因L、L1都通过L0被S与S1所截得的弦PQ与EF的共同中点O，显然L2也必通过点O，故O也是L0被S2所截得的弦GH的中点．

注 两直线AB和CD或AD和CB或AC和BD都可看做二次曲线S1的特殊情形，甚至E和F重合于O．故本定理包括了蝴蝶定理众多情形．

参考资料来源：百度百科-中点弦

圆锥曲线中点弦二级结论：

定圆上一动点与圆内一定点的线段的垂直平分线，与动点和圆心之间的半径交点的轨迹是椭圆。 定圆上一动点与圆外一定点的线段的垂直平分线，与动点和圆心之间的半径交点的轨迹是双曲线。定直线上一动点与直线外一定点的线段垂直平分线，与过动点和定直线垂直的直线的交点的轨迹是抛物线。

动点到一定点和一定直线的距离之比为小于、1的常数，那么动点的轨迹是，椭圆。动点到一定点和一定直线的距离之比为大于1的常数，那么动点的轨迹是双曲线。动点到一定点和一定直线的距离之比等于1，那么动点的轨迹是抛物线。

圆锥曲线上任一点的切线和过焦点与该点焦半径垂直的直线的交点，轨迹为该圆锥曲线相应之准线。椭圆，双曲线的焦点在切线上的射影的轨迹是一个以原点为圆心，以a为半径的圆。抛物线的焦点在切线上的射影的轨迹为过抛物线顶点的切线。

以椭圆焦半径以为直径的圆和以长轴为直径的圆相切。以双曲线焦半径以为直径的圆和以实轴为直径的圆相切。以抛物线焦半径为直径的圆必与过顶点的切线相切。椭圆中以焦点弦为直径的圆必与椭圆的准线相离。双曲线中以焦点弦为直径的圆必与双曲线的准线相交。抛物线中以焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。

椭圆点差法公式结论是x²/a²-y²/b²=1，其中(a>0b>0)，在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差，求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。

椭圆点差法解题技巧：

在解答平面解析几何中的某些问题时，如果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程。

这类问题通常与直线斜率和弦的中点有关或借助曲线方程中变量的取值范围求出其他变量的范围。与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。

中点弦问题用点差法中点弦问题一般用点差法求直线斜率以椭圆为例,椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0)设直线l与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2),中点N(x0,y0)x1^2/a^2+y1^2/b^2=1x2^2/a^2+y2^2/b^2=1 两式相减 (x1+x2)(x2

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