我们太相信心形所代表的爱情的意义，太相信爱情的不确定性在数学上的准确表达。
文本/陈璐
一封数学情书发明解析几何的法国数学家勒内·笛卡尔和瑞典公主克里斯蒂娜之间有一段非常浪漫的爱情故事，堪称自称理工科大师的典范。
故事开始于1650年斯德哥尔摩的一个下午，当时52岁的笛卡尔正在街上学习数学。由于黑死病的流行，这位法国哲学家和数学家逃到了瑞典。此时，他的全部家当就是他那身破烂的衣服和随身带的几本数学书。
他专注的表情吸引了一个路过的女孩，18岁的克里斯蒂娜。她拿起笛卡尔的数学书和草稿纸，和他聊了起来。在交谈中，笛卡尔发现这个小女孩思维敏捷，对数学有着浓厚的兴趣。在他们道别后不久，他收到了国王的通知，被聘为小公主的数学老师。克里斯蒂娜，这是公主。爱情，在日复一日的相处中，悄然萌芽。然而，当这一切传到国王耳中时，国王大怒，下令立即处死笛卡尔。最后，在公主的要求下，笛卡尔被送回了法国。
身体虚弱的笛卡尔回国后不久就染上了黑死病，生命进入倒计时。在最后的日子里，他仍然想念克里斯蒂娜，每天都给她写信，希望得到心上人的回音。但是这些信件被国王截获了。当笛卡尔寄出第十三封信时，他永远离开了这个世界。这最后一封情书一个字都没写，只有一个方程:r=a(1-sinψ)。
看不懂这封信的国王召集了全城的数学家，但是没有人能解出这个方程。于是他满怀信心地把信交给了不幸的公主。拿到信的克里斯蒂娜立即找来纸笔，在坐标轴上画出了函数方程，一个心形图案出现在她的眼前。这是笛卡尔对克里斯蒂娜的最后忏悔。这个方程就是著名的“心函数”。
心形函数的 极坐标解析表达式及图像 这个传说既美好又硬核，符合所有人对一个数学家深情告白的想象。所以流传甚广，感动了无数吃瓜群众。然而，当我决定验证这个故事时，我在网上搜索，却找不到任何关于这个故事的记录。其实这个爱情故事完全是国产的，和都市传说一样不靠谱。历史上，笛卡尔确实担任过克里斯蒂娜的老师，并因她而死，但故事远没有那么浪漫。与传说不同，克里斯蒂娜并不是一个软弱的公主。她的父亲是古斯塔夫二世，著名的北方战神。1632年，古斯塔夫二世在吕岑战役中战死，年仅6岁的克里斯蒂娜成为克里斯蒂娜女王，在她短暂的21年统治中带领瑞典走向繁荣的巅峰。
1649年9月，53岁的笛卡尔接受克里斯蒂娜女王的邀请，从荷兰来到瑞典斯德哥尔摩，在那里当宫廷教师，给女王讲授哲学。克里斯蒂娜此时24岁，已经掌权多年。克里斯蒂娜·笛卡尔对她的到来非常高兴，她从所有的法庭杂务中解脱出来。她只需要每周三次在早上5点来和她讨论哲学问题。但她没想到的是，笛卡尔讨厌早起。笛卡尔从小就养成了赖床的习惯，不会在上午11点前起床。碰巧那年冬天是斯德哥尔摩60年来最冷的一个冬天，所以这个教学成了一个意想不到的催命符。他很快得了肺炎，并于第二年春天去世。
法国数学家勒内·笛卡尔 真正符合故事中这位公主形象的，其实是波希米亚国王弗里德里希五世的长女伊丽莎白公主，她天性聪慧，求知欲极强。在认识笛卡尔之前，她通读了他的大部分作品。自1643年起，笛卡尔开始与伊丽莎白公主通信。伊丽莎白渴望理解笛卡尔的形而上学问题，特别关注肉体和灵魂的关系。她提出的第一个问题与身心的相互作用有关，但笛卡尔的回答并没有让她满意，于是公主恳求笛卡尔对“灵魂的激情”做出更明确的解释。这影响了笛卡尔的思考方向，同时也让《灵魂的激情》这本书诞生了。更有趣的是，伊丽莎白也非常喜欢数学，她的爱好之一就是分析几何问题。笛卡尔曾在给伊丽莎白的信中写道:“经验告诉我，大多数有能力理解形而上学推理方法的人，都无法理解代数的结构。能看懂代数的人，通常是看不懂玄学的。我高贵的公主，在我看来，你很容易理解两者。”公主给笛卡尔的信总是署名“给你深情的朋友”。虽然两人相差22岁，但两人的书信充满感情，看不出任何年龄差距。几乎所有笛卡尔的传记作者都推测过他们是否有男女之情，但没有人能从这些充满意识形态讨论的信件中捕捉到任何证据。
但对于笛卡尔决定去瑞典宫廷当女王的老师，伊丽莎白曾坚决反对，态度异常激烈。后来，当波兰瓦萨王朝的福瓦蒂斯四世向伊丽莎白求婚时，她断然拒绝，理由是“我已经爱上了笛卡尔的哲学，希望把一生都献给它”。
法国爱情诗《梨之恋》附插图 人心，爱的象征虽然这个故事纯属虚构，但人们相信它的原因之一自然是由于这个函数图的独特形状。人们很难不去猜测这背后是否有一个迷人的爱情故事。然而，有趣的是，就连心脏的功能也不是笛卡尔的发明。
谁是第一个画出这个误导函数的人不得而知，但心形函数中使用的极坐标系统是由另一位伟大的数学家艾萨克·牛顿在笛卡尔去世一百年后，在他1736年的著作《流计算能力和无穷级数》中首次应用于平面的。此外，心形函数的英文名“Cardioid”由意大利数学家杰弗里·卡斯蒂利翁于1741年正式命名，并发表在英国皇家学会自然科学杂志上，意为“类心脏”。
然而，即使心形函数不是笛卡尔发明的，但作为解析几何的创始人，没有他就没有心形函数，人们也乐于为他安排这个故事。然而，为什么我们看到心就会想到爱呢？这张图什么时候变成爱的标志了？
“在13、14世纪之前，它并不代表爱情。”加州大学洛杉矶分校中世纪文学教授埃里克·贾格尔(Eric Jager)在他的著作《心形图案的前世》中指出。虽然人们看到心形会联想到一系列与爱情有关的词语，但古希腊人可能对这种用法极其困惑。
现在人们对这种形状很熟悉，它最初是作为一种装饰形状出现在许多古希腊陶器上的。那些粗略描绘的植物图案如树叶形成一条不复杂的曲线，不包含其他含义。但是当爱情的概念在中世纪开始形成的时候，它的象征意义也形成了。
早在古希腊，抒情诗常常把心和爱联系在一起。在已知的最早的希腊故事中，诗人莎孚患有因爱而颤抖的“疯狂的心”。她生活在公元前7世纪的莱斯博斯岛，周围都是她的女弟子。她为他们写下了充满激情的诗篇，如:爱情震撼了我的心，就像山上的风吹乱了橡树。
希腊哲学家也或多或少认同心与人最强烈的情感有关，包括爱。柏拉图认为，在爱情和恐惧、愤怒、狂暴、痛苦等负面情绪中，胸部占主导地位。亚里士多德进一步拓展了心的作用，赋予了心至高无上的地位。古罗马人通常把心和爱联系在一起。爱神维纳斯在儿子丘比特的帮助下点燃了人们的心，丘比特的箭射中了人们的心。
在心形图像的历史中，经常被提及的作品之一来自诗人蒂博在1255年写的法国爱情诗《Le Roman De La Poire》所附的插图。这被认为是解剖学文献之外的第一幅心脏插图。人们认为这首诗和这个意象的灵感来源于:一个深陷爱河的人可以把自己的心交给爱人，就像诗中的爱人把梨给别人一样。但诗中插画的心脏形状更像梨子，与我们现在所知的还是有些出入。
另一个心和爱的结合的早期例子来自中世纪的马涅塞古手稿，这是一部大约1300年至1340年的爱情诗集。在其中一幅插图中，一棵奇怪的树站在一对夫妇之间，形成了一颗心的轮廓，在它的纹章上有一个拉丁字母“爱”。
意大利诗人弗朗西斯科·巴尔贝利诺的诗歌作品《爱的记录》插图 1400年，意大利诗人弗朗西斯科·巴尔贝尔·李诺的诗《爱情文献》(Documenti d'amore)出版，大胆描绘了一个裸体的丘比特，站在马背上，脖子上戴着心形的花环，射出箭和玫瑰。这种图案很快流行起来，心形开始出现在挂毯、扑克牌和其他艺术形式上。《心之歌》(Le don du Coeur)是一幅15世纪早期的挂毯，现藏于卢浮宫，描绘了一名男子小心翼翼地捧着小红心，走向一名住在绿叶丛中的女子，仿佛要把它送给她。这个形象已经成为“宫廷爱情”最受欢迎的代表之一。“宫廷式爱情”是柏拉图式的爱情法则，支配着欧洲贵族的宫廷行为。这种天马行空的画面在贵族圈子里不胫而走，表现出高贵儒雅的爱情。与此同时，1440年，约翰内斯·古腾堡用活字印刷术开启了一场信息革命，心形所代表的爱的含义传播开来并被广泛接受。
卢浮宫博物馆收藏的15世纪早期挂毯《心的礼物》 如何用数学找到真爱“心功能”这个故事的另一个魅力在于，人们试图在感性的爱和理性的数学之间建立一种联系。这可能是因为很多数学家尝试用数学方法来帮助自己找到真爱。
如何选择人生伴侣？约会有点像赌博。过早安定下来，可能会错过遇见自己“真爱”的机会，但等得太久，可能会孤独终老。那么，在你决定和这个人结婚之前，你应该和多少人约会呢？这个问题被数学家称为“最优停止理论”，也被称为“未婚妻问题”。它在20世纪50年代的美国数学家中被反复讨论。一般认为，这个问题是由美国数学家梅里尔·m·弗洛德(Merrill M. Flood)在1949年首先解决的，1961年由英国统计学家丹尼斯·林德利(Dennis Lindley)首次发表。按照这个理论，要找到最适合结婚的人，必须忽略前37%。
比如你这辈子会遇到100个追求者，你要拒绝前37%(即37)，然后从第38个追求者开始。一旦发现比前37更好的人，就要果断接受他。但是，37%法则有一个小问题:如果最优秀的候选人原本就在这37%的人当中，那么错过他们之后，你就再也找不到更优秀的了。但你可能无法判断最佳人选是否已经被拒绝，所以你还是会等待，导致有37%的概率“未能离开”或被迫选择最后一个追求者。
德国数学家约翰尼斯·开普勒在他的第一任妻子死于霍乱后，试图通过数学方法寻找他的下一任妻子。在一封写于1613年的信中，他描述了自己如何计划花两年时间面试11位潜在的未婚妻候选人，对他们进行排名，然后做出谨慎的选择。虽然不知道他采用的“妻子适当性函数”是什么，但他大概感觉到了“未婚妻问题”的缺陷。开普勒试图回去向他采访的第四个人求婚，但她已经走了，所以拒绝了他。最后，他选择与11位候选人中的第5位结婚。
[h/]约翰尼斯·开普勒 与此同时，“最优停止理论”认为，人们应该在“约会期”过了37%之后，开始寻找自己想要安定下来的伴侣。举个例子，如果一个人想在35岁之前结婚，15岁开始约会，那么他/她应该在15岁开始接受下一个比以前更好的人(35—15)×37%=22.4。数学家用数学方法处理与爱情相关的问题比我们预想的要多。2010年菲尔兹奖得主塞德里克·维拉尼(Cédric Villani)曾在他的日记自传《一个定理的诞生》中写道:“你坐飞机总是选择经济舱”，因为从统计学上来说，“经济舱的女生更可爱”。
2010年，单身3年后，仍在华威大学攻读博士学位的数学家彼得·巴克斯(Peter Backus)写了一篇论文，题目是《我为什么没有女朋友》。其中，他用一个叫德雷克方程的数学公式，设置了“有多少女人住在我附近”、“有多少人适合年龄”、“有多少人是单身”、“有多少人和我相处”等一系列问题，计算出英国只有26位如意郎君。而且他还得出结论，每天晚上，他只有1/285000的机会遇到其中一个。巴克斯为自己长期的单身生活找到了一个理由，但同时又觉得几乎不可能找到一个合格的伴侣。不过，好消息是巴克斯终于遇到了其中的一个——来自伦敦的女孩罗斯，现在他已经和她结婚了。
数学也被应用于婚姻预测。心理学家约翰·戈特曼和数学家詹姆斯·穆雷开发了一个数学模型，通过对夫妻在交谈中的情绪表达进行评分，量化夫妻吵架时的互动和影响，比如赞同4分，感兴趣2分，拒绝沟通2分，并通过视觉图像分析，为婚姻危机中的夫妻提供咨询。
他们发现，到最后，每对情侣的分数都会逐渐稳定下来，不会有太大的差别。这种趋势代表了夫妻之间的问题。如果他们的对话评分曲线一直往下走，说明他们真的很难互相欣赏，可能会导致婚姻最终无法进行下去。根据不同的功能意象，戈特曼和默里将婚姻分为五类:不稳定型、理性型、回避型、敌对型和分裂型。前三位虽然相处模式不同，但都属于婚姻比较长久的。通过对130对情侣长达12年的跟踪实验，该模型的整体预测准确率高达94%。格特曼和默里后来将这项研究发表在一本名为《婚姻的数学:动态非线性模型》的书中。
如果说，过去把爱情和数学联系起来是专属数学家的高端游戏，现在随着网恋的日益普及，数学在爱情中的作用也在逐渐加强。日本漫画《禁止恋爱的世界》中，为了解决少子化问题，日本政府禁止自由恋爱，由政府接管。也就是说，政府会通过分析一系列的遗传基因和各种数据，帮助你决定合适的结婚对象，并用数学模型来保证两者的契合度。虽然这是一个极端的假设，但越来越多的约会软件正在使用一套数学解决方案来帮助用户匹配潜在的合适候选人。
为什么总有人想用数学的力量来解决爱情？伽利略曾说:“数学是一种描述现实并揭示世界如何运转的语言。这种通用语言现在已经成为检验真理的黄金标准。”或许，正是因为爱情的不确定性，人们才希望能够用准确的语言来描述和检验，而数学中的“对错”标准也可以为那些在情感上犹豫不决的人提供直接的解决方案。但是，需要警惕的是爱因斯坦所说的:“数学规律越是接近现实，就越是不确定；数学规律越确定，离现实就越远。”
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