奇函数乘偶函数是啥函数（奇函数加上偶函数是什么函数，怎么证明?）

奇函数乘偶函数是啥函数（奇函数加上偶函数是什么函数，怎么证明?）

第一，函数奇偶性的概念

1.一般来说，对于一个函数f (x)，如果对于函数定义域中的任意一个x都有f (-x) = f (x)，那么这个函数f (x)就叫做偶函数。

一般对于函数f (x)，如果函数定义域内任意x有f (-x) =-f (x)，那么函数f (x)称为奇函数。

注意:奇偶性是针对整个域的，单调性是针对域内某个区间的。定义域关于原点的对称性是函数有奇偶性的必要条件。

2.根据奇偶分类，函数可以分为四类:

奇函数非偶函数，偶函数非奇函数，奇非偶函数，奇偶函数。

3.奇偶函数图像:

奇函数的像关于原点是中心对称的，偶函数的像关于y轴对称。

奇数函数

偶数函数

4.函数奇偶性的性质:

①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称。

②若f (x)为奇函数，x定义为0，则f (0) = 0。

(3)若奇函数在关于原点对称的区间上单调，则其单调性完全相同，其最大值相反；如果一个函数在关于原点对称的区间上是单调的，那么它的单调性正好相反，它的最大值是相同的。

④定义在R上的任何函数f (x)都可以唯一地表示为一个奇函数和一个偶函数之和。

⑤若有函数G (x)和F (x)，其复合函数F [G (x)]的定义域关于原点对称。当u = g (x)和y = f (u)是奇函数时，y = f [g (x)]是奇函数；当u = g (x)和y = f (u)是偶函数或奇偶函数时，y = f [g (x)]是偶函数。

复合函数的奇偶性特征是:“内偶为偶，内奇同外”。

5.与函数奇偶性相关的几个结论:

①奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；

②奇函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数。

二、判断函数奇偶性的步骤:

①求f (x)的定义域，判断定义域是否关于原点对称；不对称是非奇异非偶函数，对称进入下一步。

②化简F (x)，然后求F (-x)，比较两者的关系。

③根据定义得出结论。

三。抽象函数奇偶性的判断

方法:赋值法是判断抽象函数奇偶性的常用方法。由已知的抽象函数关系求出f (-x)+f (x)或f (-x)-f (x)。一般先求f (0)的值(或者f (1)和f (-1)的值)，然后使y =-x，这样就产生了f (-x)和f (x)