高考数学会给公式吗

一个冷门的数学公式，2022高考全国卷I却要用到，您会用吗？

锥台体积公式应该算是冷门的数学公式吧！反正老黄一开始也不记得了。但是，老黄不用参加高考。他记不记得并不重要。但是，2022年参加高考全国卷一的考生，如果记不住这个公式，就没那么幸运了。

因为下面高考全国数学第一卷的选择题，如果不使用截锥的体积公式，出错的概率很大。黄用手算了几次，结果都不准确。即使你写作能力很强，如果不使用公式，也会浪费很多宝贵的考试时间。标题是这样的:

南水北调工程缓解了北方一些地区的水资源短缺，一部分水储存在水库里。当已知水库水位为海拔148.5米时，对应的水面面积为140.0km^2；；当水位高于海平面157.5米时，相应的水面面积为180.0km^2.如果把两个水位之间的水库形状看成一个截锥体，当水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为()(根号7≈2.65)

a . 1.0×10^9m^3；1.2×10^9m^3；1.4×10^9m^3；1.6×10^9m^3

虽然这个问题在单位有点不一样，但是提问者没有在单位设计陷阱，也算是开恩了。

解析:只要考生记住截锥的体积公式:V=h(S1+S2+根号(S1*S2))/3，这道题就很容易解决。因为问题中的所有数据都已经明确给出，圆台的高度h=9m，一个底面的面积S1 = S1=140.0×10^6m^2，另一个底面的面积S2 = 180×10 ^ 6m ^ 2，代入公式可以得到:

V=9×(140+180+根号(140×180))×10 ^ 6/3大约是1.4×10^9m^3.

所以选c，如果用这个方法解决这个问题，用时不到3分钟。如果不记得公式，解决这个问题就不难了。即使需要时间，也很容易出错。这时候就要把平截头体的两边延长，使之成为一个金字塔，然后用“整个金字塔的体积，减去平截头体下面(或上面)的金字塔的体积”的方法来计算平截头体的体积。如图所示:

这个时候，还记得平截头体的高度是h=9m，整个金字塔的高度是h’。然后，从图中的相似三角形可以得到h'/(h'-h)=根号(180/140)=3倍根号(1/7)。这就是“相似图形的边之比等于面积比的算术平方根”的应用。

因此，整个金字塔的高度h’可以求解为大约76米。现在可以计算锥台的体积，答案还是c，说起来容易，实际操作过程很麻烦。这个解不超过5分钟是解不出来的。不要小看两种解法相差2分多钟，这可能对高考数学成绩起决定性作用。

最后，老黄想推导一下圆台的体积公式是怎么得出的。因为只有经过推导，才能牢牢记住这个公式。也可以自己推。

从h ' '(h '-h)=根号(S1/S2)，可以转化为h '(根号(S1/S2)-1)=h根号(S1/S2)

因此，h'=h根号S1/(根号S1-根号S2)=h(S1+根号(S1S2))/(S1-S2)。

V=hS1(S1+根号(S1S2))/(3(S1-S2))-S2(h(S1+根号(S1S2))/(S1-S2)-h)/3

= h ((S1 2+S1根号(S1 S2))/(S1-S2)-(S2 2+S2根号(S1S2))/(S1-S2))/3

=h(S1+S2+根号(S1*S2))/3。

证明的过程其实相当于第二种方法的解题过程。这告诉我们，平时做好充分准备，高考就会省时省力；如果平时没有做好足够的准备，平时该做的事情就留给高考考场，费时费力，必然影响高考成绩。这也是“考场一分钟，场下十年”的道理！